九章算术-第14部分
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和漆一斗八升四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升。
〔按：此术三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升，余有二斗
一升，则六升无油可和，故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升，则易得油一斗
六升，可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。见在油合和得漆
二斗，则是有余二升。以盈、不足维乘之，为实。并盈、不足为法。实如法而一，
得出漆升数。求油及和漆者，四、五各为所求率，三、四各为所有率，而今有之，
即得也。〕
今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并
重十一斤。问玉、石重各几何？答曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸，
重四斤一十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两；令之皆石，不足一十四两。不足为玉，多为石。
各以一寸之重乘之，得玉、石之积重。
〔立方三寸是一面之方，计积二十七寸。玉方一寸重七两，石方一寸重六两，
是为玉、石重差一两。假令皆玉，合有一百八十九两。课于一十一斤，有余一十
三两。玉重而石轻，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸损一两，则以为石
重，故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石，合有一百六十二两。课于
十一斤，少十四两，故曰不足。此不足即以重为轻。故令减少数于并重，即二十
七寸之中有十四寸，寸增一两也。〕
今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、
恶田各几何？答曰：善田一十二亩半。恶田八十七亩半。
术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱七分钱之二；令
之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱七分钱之三。
〔按：善田二十亩，直钱六千；恶田八十亩，直钱五千七百一十四、七分钱
之二，课于一万，是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩，直钱三千；
恶田九十亩，直钱六千四百二十八、七分钱之四；课于一万，是为不足五百七十
一、七分钱之三。以盈不足术求之也。〕
今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等。交易其一，金轻十三两。问
金、银一枚各重几何？答曰：金重二斤三两一十八铢。银重一斤一十三两六铢。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令
之黄金二斤，白银一斤一十一分斤之七，多一十五，于左行。以分母各乘其行内
之数。以盈、不足维乘所出率，并，以为实。并盈、不足为法。实如法，得黄金
重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。
〔按：此术假令黄金九，白银一十一，俱重二十七斤。金，九约之，得三斤；
银，一十一约之，得二斤一十一分斤之五；各为金、银一枚重数。就金重二十七
斤之中减一金之重，以益银，银重二十七斤之中减一银之重，以益金，则金重二
十六斤一十一分斤之五，银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多，则金轻一十
七两一十一分两之五。课于一十三两，多四两一十一分两之五。通分内子言之，
是为不足四十九。又令之黄金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤；白银一十一，
亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一斤一十一分斤之七，为银一枚之重数。
今就金重一十八斤之中减一枚金，以益银；复减一枚银，以益金，则金重一十七
斤一十一分斤之七，银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多，即金轻一十一分
斤之八。课于一十三两，少一两一十一分两之四。通分内子言之，是为多一十五。
以盈不足为之，如法，得金重。分母乘法以除者，为银两分母，故同之。须通法
而后乃除，得银重。余皆约之者，术省故也。〕
今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，
日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问
几何日相逢及各行几何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里一
百九十一分里之一百四十五。
术曰：假令十五日，不足三百三十七里半；令之十六日，多一百四十里。以
盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈、不足为法。实如法而一，得日数。不
尽者，以等数除之而命分。求良马行者：十四乘益疾里数而半之，加良马初日之
行里数，以乘十五日，得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里数，加良马初日之
行。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良马凡行里数，即得。其不尽而命
分。求驽马行者：以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日，
得驽马十五日之凡行。又以十五日乘半里，以减驽马初日之行，余，以乘日分子，
如日分母而一。所得，加前里，即驽马定行里数。其奇半里者，为半法。以半法
增残分，即得。其不尽者而命分。
〔按：“令十五日，不足三百三十七里半”者，据良马十五日凡行四千二百
六十里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千二百六十里；驽马十五日凡行一千四
百二里半，并良、驽二马所行，得二千六百六十二里半。课于三千里，少三百三
十七里半。故曰不足。“令之十六日，多一百四十里”者，据良马十六日凡行四
千六百四十八里；除先去齐三千里，定还迎驽马一千六百四十八里，驽马十六日
凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行，得三千一百四十里。课于三千里，
余有一百四十里。故谓之多也。以盈不足之，实如法而一，得日数者，即设差不
盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日，为一十五日平行数。求初末益疾
减迟之数者，并一与十四，以十四乘而半之，为中平之积。又令益疾减迟里数乘
之，各为减益之中平里。故各减益平行数，得一十五日定行里。若求后一日，以
十六日之定行里数乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里数。故各并十
五日定行里，即得。其驽马奇半里者，法为全里之分，故破半里为半法，以增残
分，即合所问也。〕
今有人持钱之蜀贾，利十，三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归
一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及
利各几何？答曰：本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千
八百七十六。利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万
六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半；令之四万，多三万五千三
百九十钱八分。
〔按：假令本钱三万，并利为三万九千；除初返归留，余，加利为三万二千
五百；除二返归留，余，又加利为二万五千三百五十；除第三返归留，余，又加
利为一万七千三百五十五；除第四返归留，余，又加利为八千二百六十一钱半；
除第五返归留，合一万钱，不足一千七百三十八钱半。若使本钱四万，并利为五
万二千；除初返归留，余，加利为四万九千四百；除第二返归留，余，又加利为
四万七千三百二十；除第三返归留，余，又加利为四万五千九百一十六；除第四
返归留，余，又加利为四万五千三百九十钱八分；除第五返归留，合一万，余三
万五千三百九十钱八分，故曰多。
又术：置后返归一万，以十乘之，十三而一，即后所持之本。加一万一千，
又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一万二千，又以十乘之，十三而一，
即第三返之本。加一万三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一万四
千，又以十乘之，十三而一，即初持之本。并五返之钱以减之，即利也。〕
今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠
日自半。问几何日相逢？各穿几何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四
寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半。
〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；并大鼠所穿，合
四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得
一尺七寸半。并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。
以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定
穿，即合所问也。〕
卷八
○方程（以御错糅正负）
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，
下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、
中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗
之一。下禾一秉二斗四分斗之三。
方程
〔程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率。二物者再程，
三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为
有所据而言耳。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。又列中、左行如右
行也。〕
术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列
如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。
〔为术之意，令少行减多行，反复相减，则头位必先尽。上无一位，则此行
亦阙一物矣。然而举率以相减，不害余数之课也。若消去头位，则下去一物之实。
如是叠令左右行相减，审其正负，则可得而知。先令右行上禾乘中行，为齐同之
意。为齐同者，谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义
然矣。〕
又乘其次，亦以直除。
〔复去左行首。〕
然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。
〔亦令两行相去行之中禾也。〕
左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。
〔上、中禾皆去，故余数是下禾实，非但一秉。欲约众秉之实，当以禾秉数
为法。列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣。各以其余一位
之秉除其下实。即计数矣用算繁而不省。所以别为法，约也。然犹不如自用其旧。
广异法也。〕
求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。
〔此谓中两禾实，下禾一秉实数先见，将中秉求中禾，其列实以减下实。而
左方下禾虽去一，以法为母，于率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法为母，
而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实。减于下实，
则其数是中禾之实也。〕
余，如中禾秉数而一，即中禾之实。
〔余，中禾一位之实也。故以一位
