九章算术-第13部分

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行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同，

故并齐以除同，即得也。〕

今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五

斗。问本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。

术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、

六相互乘为法。实如法得一斗。

〔此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、

四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。

又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税

之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。

又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置

一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之，

七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，为分母；二、四、

六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。

于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。〕

今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五

而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？答曰：一斤三

两四铢五分铢之四。

术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。

实如法得一斤。

〔此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘，

为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相

乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母，

凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子

五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除

之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。〕

卷七

○盈不足（以御隐杂互见）

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？答曰：

七人。物价五十三。

今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？

答曰：九人。鸡价七十。

今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？答

曰：四十二人。琎价十七。

〔注云“若两设有分者，齐其子，同其母”，此问两设俱见零分，故齐其子，

同其母。又云“令下维乘上。讫，以同约之”，不可约，故以乘，同之。〕

今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三

十。问家数、牛价各几何？答曰：一百二十六家。牛价三千七百五十。

〔按：此术并盈不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之，

各得一家所出率。以少减多者，得一家之差。以除，即家数。以出率乘之，减盈，

故得牛价也。〕

术曰：置所出率，盈不足各居其下。令维乘所出率，并，以为实。并盈、不

足，为法。实如法而一。

〔按：盈者，谓朓；不足者，谓之朒；所出率谓之假令。盈、朒维乘两

设者，欲为同齐之意。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假

令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为

实，并盈、不足为法。齐之三十二者，是四假令，有盈十二；齐之二十一者，是

三假令，亦朒十二；并七假令合为一实，故并三、四为法。〕

有分者通之。

〔若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。〕

盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，

法为人数。

〔“所出率以少减多”者，余，谓之设差，以为少设。则并盈、朒，是为

定实。故以少设约定实，则法，为人数；适足之实故为物价。盈朒当与少设相

通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。〕

其一术曰：并盈、不足为实。以所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。

以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。

〔此术意谓盈不足为众人之差。以所出率以少减多，余为一人之差。以一人

之差约众人之差，故得人数也。〕

今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各

几何？答曰：三十三人。金价九千八百。

今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？

答曰：二十一人。羊价一百五十。

术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。

两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者，通之。两盈两不足相与

同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。

〔按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势

同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实

者，无朒数以损焉。盖出而有余，两盈。两设皆逾于正数。假令与共买物，人

出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去。

其余所以为实者，无盈数。两盈以少减多，余为法。齐之八十者，是十假令；而

凡盈三十者，是十，以三之；齐之二十七者，是三假令；而凡盈三十者，是三，

以十之。今假令两盈共十、三，以三减十，余七，为一实。故令以三减十，余七

为法。所出率以少减多，余谓之设差。因设差为少设，则两盈之差是为定实。故

以少设约法得人数，约实即得金数。〕

其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足以少减多，余为实。

实如法而一，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。

〔“置所出率，以少减多”，得一人之差。两盈、两不足相减，为众人之差。

故以一人之差除之，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。〕

今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？

答曰：二人。犬价一百。

今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？

答曰：一十人。豕价九百。

术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。

其求物价者，以适足乘人数，得物价。

〔此术意谓以所出率，以少减多者，余是一人不足之差。不足数为众人之差。

以一人差约之，故得人之数也。以盈及不足数为实者，数单见，即众人差，故以

为实。所出率以少减多，即一人差，故以为法。以除众人差，得人数。以适足乘

人数，即得物价也。〕

今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？

答曰：二斗五升。

术曰：以盈不足术求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有余二升。

〔按：桶受一斛，若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升，

课于七斗，是为不足二升。若使故米三斗，须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗

二升，课于七斗，是为有余二升。以盈不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。为

齐同者，齐其假令，同其盈朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可以并之为实，

并盈、不足为法。实如法，即得故米斗数，乃不盈不朒之正数也。〕

今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日

相逢？瓜、瓠各长几何？答曰：五日十七分日之五。瓜长三尺七寸一十七分寸之

一。瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。

术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。

〔按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日，

上延蔓五尺；课于九尺之垣，是为不足五寸。“令之六日，有余一尺二寸”者，

若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺；课于九尺之垣，是为

有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。齐其假令，同其盈

朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可并以为实，并盈、不足为法。实如法而

一，即设差不盈不朒之正数，即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之，故各得其长

之数也。〕

今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问

几何日而长等？答曰：二日十三分日之六。各长四尺八寸一十三分寸之六。

术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半。

〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸；莞生二日，

长三尺；是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者，

蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈不足乘除之。

又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日

定长，即得其数。〕

今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。

问醇、行酒各得几何？答曰：醇酒二升半。行洒一斗七升半。

术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗

八升，不足二。

〔据醇酒五升，直钱二十五；行酒一斗五升，直钱一十五；课于三十，是为

有余十。据醇酒二升，直钱一十；行酒一斗八升，直钱一十八；课于三十，是为

不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也。〕

今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。问大、小器各容

几何？答曰：大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。

术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二

斗五升，不足二斗。

〔按：大器容五斗，大器五容二斛五斗。以减三斛，余五斗，即小器一所容。

故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗，大器一，合为三斛。课于两斛，乃多

十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升。以减三斛，余二斗五升，

即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗

五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足维乘，

除之。〕

今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。

问出漆、得油、和漆各几何？答曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。

和漆一斗八升四分升之三。

术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二