皇帝新脑-第32部分
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① 欧多索斯也是两千年以来行星运动的有用理论的首创者。此理论后来由希帕裘斯和托勒密所发展，以后即被称为托勒密系统。图5。5伽利略空间――时间：匀速运动的粒子可用直线标出。伽利略的第三个伟大洞察是开始理解能量守恒。伽利略主要关心物体在重力下的运动。他注意到，如果从一静止状态释放一个物体，则不管它是简单地落下，还是随一个任意长度的摆振动，或是沿着一个光滑斜面滑下，其速率只依赖于它从释放之处下落的垂直距离。正如我们现在所说的，储存于超过地面的高度的能量 （引力势能）会转换成它的运动的能 （只依赖于物体速率的动能）。反之亦然，但总能量既不损失也不增加。能量守恒定律是一个非常重要的物理原则。它不是物理学的一个独立要求，而是我们很快就要讨论的牛顿动力学定律的推论。笛卡尔、惠更斯、莱布尼兹、欧拉以及开尔芬等人几个世纪来的努力，使这一定律的表述越发清晰。在本章的后部以及第七章，我们将要再回到这个问题上来。如果把能量守恒定律和伽利略的相对论原理相结合，我们就能得到更多的相当重要的守恒定律：质量和动量守恒。粒子的动量是它的质量和速度的乘积。火箭的推进即是动量守恒的众所周知的例子之一，火箭往前动量的增加恰好和（更轻的、但是更急速的）废气往后的动量相平衡。枪的后座力也是动量守恒的一个表现形式。牛顿定律的进一步推论是角动量守恒，角动量守恒是描写一个系统的自旋的不变性，地球绕自己的轴自旋以及网球的自旋都是依靠它们的角动量守恒来维持的。组成任何物体的每一个粒子都对该物体的总角动量有贡献，这贡献等于它的动量与它离开中心的垂直距离的乘积。（自旋转物体只要变紧凑，其角速度就会增加，即是其中的一个推论。滑冰者和马戏团高架秋千艺术家经常表演的令人惊叹而熟悉的动作也起源于此。他们经常利用收回手臂或腿的动作使旋转速度自动增加。）在后面的内容中我们将会看到质量、能量、动量以及角动量都是重要的概念。
最后，我应该让读者回顾一下伽利略的先知的洞察力，那就是当大气摩擦力不存在的时候，在重力作用下所有物体都以同一速率下落。（读者也许会回想起他从比萨斜塔上同时释放不同物体的著名故事，）三个世纪以后，正是这一个洞察导致爱因斯坦将其相对论原理推广到加速参考系统，从而为他的非凡的引力的广义相对论提供了基石，这在本章的结尾处将会看到。图5。6矢量加法的平行四边形定律。
图5。7两粒子之间的力是沿着它们之间连线的方向（由牛顿第三定律，B作用到A的力总是和A作用到B的力大小相等方向相反）。在伽利略的创立的令人印象深刻的基础上，牛顿建立了绝顶庄严华美的大教堂。牛顿指出了物体行为的定律。第一和第二定律基本上是伽利略给出的：如果没有外力作用到一个物体上，则物体将继续其直线匀速运动；如果有外力作用到上面，则物体的质量乘以它的加速度（亦即其动量变化率）等于这个力。牛顿本人的一个特殊的洞察，在于意识到还需要第三定律：物体A作用在物体B上的力，刚好和物体B作用到物体A上的力大小一样而方向相反（“每一个作用必有其大小一样方向相向的反作用”）。这就提供了基本的框架。“牛顿宇宙”是由在服从欧几里德几何定律的空间中运动的粒子所组成。作用到这些粒子上的力决定了他们的加速度。每一个粒子所受的力是由所有其他粒子分别贡献到该粒子的力利用矢量加法定律相加而得到（见图5。6）。为了很好地定义这个系统需要一些规则，这些规则可以告诉我们从另一个粒子B作用到粒子A的力是什么样子的。
通常我们需要该力沿着AB之间的连线作用 （见图5。7）。如果该力是引力，则A和B之间的力是互相吸引的，其强度和它们质量乘积成正比，而和它们之间的距离的平方成反比：亦即反平方律。对于其他种类的力，其依赖于位置的方式可与此不同，也可能决定于粒子质量以外的其他性质。伽利略的一位同时代人，伟大的约翰斯？开普勒（1571―1630）注意到，行星绕太阳公转的轨道是椭圆而不是圆周（太阳总是处于该椭圆的一个焦点上，而不在其中心）。他还给出了制约行星作此椭圆运动的速率的其他两个定律。牛顿能够从他自己的一般理论（以及引力的反平方律）推导出开普勒三定律。不仅如此，他还对开普勒的椭圆轨道作了各种细节上的修正，诸如春秋分日点的进动（许多世纪以前的希腊人已注意到这些地球旋转轴方向的这种极慢的运动）。为了取得所有这些成就，牛顿就必须发展除了微积分之外的许多数学手段。他惊人的成就得大大归功于其超等的数学技巧及其同等超人的物理洞察力。牛顿动力学的机械论世界如果已知特定的力的定律（例如引力的反平方律），则牛顿理论就表达成一组精密的确定的动力学方程。如果各个粒子在某一个时刻的位置、速度和质量是给定的，则它们随后任何时间的位置、速度（以及质量――这被当作常数）就被数学地确定，这种牛顿力学的世界所满足的决定论形式对哲学思维产生了（并正在产生着）深远的影响。让我们更仔细地考察牛顿的决定论。它对“自由意志”有何含义呢？一个严格的牛顿世界能包含精神吗？甚至牛顿世界能包含计算机器吗？让我们先明确一下什么是世界的“牛顿”模型。例如，我们可以认为组成物体的所有粒子是数学的、亦即没有尺度的点。另外的办法是将它们当作球状的刚性球。无论如何，我们都必须假定知道力的定律，例如，牛顿引力论中的引力的反平方律。我们还要对自然的其他力，比如电力和磁力（威廉？吉尔伯特在1600年首先仔细研究过）以及现代已知将粒子（质子和中子）绑在一起形成原子核的强核力的定律也表述出来。电力正和引力一样满足反平方律，但类似的粒子互相排斥（而不像引力那样互相吸引）。这里不是粒子的质量，而是它们的电荷决定它们之间电力的强度。磁力和电力一样也是“反平方的”②，但是核力以相当不同的形式随距离而变化。在原子核中当粒子相互靠得紧密时核力极大，而在更大距离下则可以忽略不计。
假定我们采用刚体圆球的模型，并要求两个球碰撞时，它们即完全弹性地反弹。也就是说，它们如同两个完好的撞球那样，在能量（或总动量）没有损失的情况下分离开。我们还必须明确指明两球之间的作用力。为了简单起见，我们可以假定任两球之间的作用力都沿着它们中心的连线，其大小为该连线长度的给定的函数。（由于牛顿的一个出色的定理，此假设对牛顿引力自动成立。对其他力的定律，这可当成一个协调的要求而加上的条件。）如果刚体只进行成对碰撞，而不发生三个或更多个的碰撞，则一切都定义得很好，而且结果会连续地依赖于初始条件（亦即只要初态的变动足够小，财能保证结果变化也很小）。斜飞碰撞的行为是两球刚好相互错过的行为的连续过渡。但在三球或多球碰撞的情形下就产生了新问题。例如，如果三球ABC一下子跑到一块，那AB先碰撞，紧接着C和B碰撞，或AC先碰撞，紧接着B和A碰撞，情况就很不一样（见图5。8）。在我们的模型中，只要有三碰撞发生就存在非决定性！只要我们愿意，就可以用“极不可能”的理由简单地将三碰撞或多碰撞的情形排除掉。这就提供了一种相当一致的方案，但三碰撞的潜在问题表明终态将以不连续的② 用现代的语言，这表明存在分数M/N 使得a/b＞M/N＞c/d。只要a/b＞c/d则在两实数a/b和c/d之间一定存在一个这样的分数，以使欧多索斯判据确实被满足。方式依赖于初态。
图5。8三碰撞。最后的行为关键地决定于哪两球先碰撞，这样使得结果不连续地依赖于起因。这有点使人不满意，我们也许会更喜欢点粒子的图像。但是，为了避免某些点粒子模型引起的理论困难（当两个粒子撞到一起时出现的无限大力和无限大能量），人们必须做其他假设，诸如在短距离时粒子的相互作用力变成非常强的排斥力等等。在这种情形下，我们可以保证任何一对粒子实际上都不会碰撞到一起。（这也使我们避免了它们碰撞时的点粒子如何行为的问题！）然而，为了直观起见，我宁愿完全按照刚球模型来讨论。看来这种“撞球”图像正是大多数人下意识的实体的模型。
牛顿5撞球的实体模型（不管多碰撞问题）确实是一个决定论模型。
此处“决定论”的含义是：所有球（为了避免某些麻烦，假定为有限个）
在将来（或过去）的物理行为数学地被某一时刻的位置和速度所完全决定。这样看来，在这个撞球的世界上根本没有余地让“精神”用“自由意志”的行动去影响物体的行为。我们如果还信仰“自由意志”的话，就要被迫对实际世界的如此构成方式提出质疑。这个令人烦恼的“自由意志”问题一直徘徊在这整部书的背景里――虽然在多数情况下，我必须说只在背景里。在本章后头有一个很小却很奇特的地方牵涉到它（关于相对论中超光速讯号传递的问题）。我将在第十章直接着手自由意志的问题。读者一定会对我的结果深感失望。我的确相信，这里存在一个真正的、而非想象的问题。但它是非常根本的，并且要把它表述清晰非常困难。物理理论中的决定论是一个非常重要的问题，但是我相信这只是问题的一部分。例如，这个世界很可能是决定性的，但同时却是不可计算的。这样，未来也许以一种在原则上不能计算的方式被现在所决定。我将在第十章论证，我们具有意识的头脑的行为的确是非算法的（亦即不可计算的）。相应地，我们自信所具备的自由意志就必然和制约我们在其中生活的世界的定律中某些不可计算部分紧密地纠缠在一起。是否接受这样的关于自由意志的观点，亦即给定的物理（例如牛顿）理论，是否的确是可计算的，而不仅仅是否是决定性的，是一个有趣的问题。可计算性不同于决定性――这正是我试图在本书所要强调的。撞球世界中的生活是可计算的吗？我现在使用一个决定性的、但不可计算的“玩具宇宙模型”，来解释可计算性和决定性是不同的。我承认这是一个人为的特别例子。宇宙任何“时刻”的“态”可用一对自然数（m，n）来表示。用 Tu表示一台固定的普适图灵机，譬如在第二章（63页）定义的那一台。为了决定下一“时刻”宇宙的态，我们必须知道Tu在m上的作用最终停止不或不停（亦即用第二章65页的记号，Tu（m）≠□还是Tu（m）=□成立）。如果它停止，则下一时刻的态为（m＋1，n）。如果它不停止，则为（n＋1，m）。从第二章我们知道，不存在图灵机停止问题的算法。这样就不存在去预言这个模型宇宙“将来”的算法，尽管它是完全决定性的6！当然，这不能认为是一个严肃的模型。但它表明存在一个要回答的问题。我们可对任何决定性的物理理论考察其可计算性。�
