皇帝新脑-第13部分
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和T11是可工作的， 但不是非常有趣的图灵机。 T11甚至比T3更谦虚，它在第一次遇到1时就停止，并且没有改变任何东西！我们应该注意到，在表中还有一个多余。由于T6和T12从未进入内态1，机器T12和T6等同，并在行为上和T0等同。我们既不必为这个多余，也不必为表中的图灵机伪品而烦恼。人们的确可以改善编码以摆脱许多伪品和大大减少重复。所有这些都是以使我们可怜的普适图灵机变得更复杂作为代价。普适图灵机必须把所读到的号码n解码并假装成图灵机Tn。如果我们可以把所有伪品（或者多余量）取走，这还是值得做的。但是，我们很快就会看到，这是不可能的！这样，我们就不触动我们的编码好了。
例如，可方便地把具有…０００１１０１１１００１００００…接续记号的磁带解释成某个数字的二进位表示。我们记得０在两端会无限地继续下去，但是只有有限个１。我还假定１的数目为非零（也就是说至少有一个１）。我们可以选择去读在第一个和最后一个1（包括在内）之中的有限的符号串，在上述的情况是为一自然数的二进位写法１１０１１１００１，它在十进位表示中为441。然而，这一过程只能给我们奇数（其二进位表示以１结尾的数）。而我们要能表示所有的自然数。这样，我们采取移走最后的１的简单方案（这个１仅仅被当作表示这一程序的终止记号），而把余下来的当成二进位数来读5。因此，对于上述的例子，我们有二进位数１１０１１１００，它是十进位的220。这个步骤具有零也用磁带上的记号代表的好处，也就是…００００００１００００００…
我们考虑图灵机Tn对我们从右边提供给它的磁带上（有限的）０和１的串的作用。根据上面给出的方案，可方便地把这串也考虑作某一个数，譬如m的二进位代表。我们假定，机器Tn在进行了一系列的步骤后最终到达停止（即到达STOP）。现在机器在左边产生的二进位数串是该计算的答案。让我们也以同样方式把这当作，譬如是p的二进位代表来读。我们把表达当第n台图灵机作用到m上时产生p的关系写成：Tn（m）=p。
现在，以稍微不同的方式看这一关系。我们把它认为是一种应用于一对数n和m以得到数p的一个特别运算。（这样，若给定两个数n和m，视第n台图灵机对m作用的结果而得出p。）这一特别运算是一个完全算法的步骤。所以它可由一台特殊的图灵机U来执行。也就是说，U作用到一对（n， m）上产生p。 由于机器U必须作用于n和m两者以产生单独结果p，我们需要某种把一对（n，m）编码到一条磁带上的方法。为此，我们可假定n以通常二进位记号写出并紧接着以序列１１１１１０终结。 （我们记得，任一台正确指明的图灵机的二进位数都是仅仅由０，１０，１１０，１１１０和１１１１０组成的序列，因此它不包含比四个１更多的序列。这样，如果Tn是正确指明的机器，则１１１１１０的发生的确表明数n的描述已终结。）按照我们上面的规定，跟着它的每一件东西简单地是代表m的磁带（也就是，紧跟二进位数m的是１０００…）。这样，这第二个部分简单地就是Tn假设要作用的磁带。
作为一个例子，如果我们取n=11和m=6当作U要作用的磁带，其记号序列为…０００１０１１１１１１１０１１０１００００…
这是由以下组成的：…００００（开始的空白带）
１０１１（11的二进位表示）
１１１１１０（终结n）
１１０…（6的二进位表示）
１００００…（余下的磁带）。
在Tn作用到m上的运算的每一接续的步骤，图灵机U要做的是去考察n的表达式中的接续数位的结构，以使得在m的数位（也就是Tn的磁带）上可进行适当的代换。在原则上（虽然在实践中肯定很繁琐）不难看到人们实际如何建造这样的一台机器。它本身的指令表会简单地提供一种，在每一阶段读到被编码到数n中的“表”中，应用到m给出的磁带的位数时，合适元素的手段。肯定在m和n的数位之间要有许多前前后后的进退，其过程会极为缓慢。尽管如此，一定能提供出这台机器的指令表，而我们把它称为普适图灵机。把该机器对一对数n和m的作用表为U（n；m），我们得到：
U（n；m）=Tn（m）。
这儿Tn是一台正确指明的图灵机6。当首先为U提供数n时，它准确地摸拟第n台图灵机！因为U为一台图灵机，它自身也必须有一号码；也就是说，我们有U=Tu此处号码u待定。u究竟是多少呢？事实上我们可以准确地给出u=7244855335339317577198395039615711237952360672556559631108144796606505059404241090310483613632359365644443458382226883278767626556144692814117715017842551707554085657689753346356942478488597046934725739988582283827795294683460521061169835945938791885546326440925525505820555989451890716537414896033096753020431553625034984529832320651583047664142130708819329717234151056980262734686429921838172157333482823073453713421475059740345184372359593090640024321077342178851492760797597634415123079586396354492269159479654614711345700145048167337562172573464522731054482980784965126988788964569760906634204477989021914437932830019493570963921703904833270882596201301773727202718625919914428275437422351355675134084222299889374410534305471044368695876405178128019437530813870639942772823156425289237514565443899052780793241144826142357286193118332610656122755531810207511085337633806031082361675045635852164214869542347187426437544428790062485827091240422076538754264454133451748566291574299909502623009733738137724162172747723610206786854002893566085696822620141982486216989026091309402985706001743006700868967590344734174127874255812015493663938996905817738591654055356704092821332221631410978710814599786695997045096818419062994436560151454904880922084480034822492077304030431884298993931352668823496621019471619107014619685231928474820344958977095535611070275817487333272966789987984732840981907648512726310017401667873634776058572450369644348979920344899974556624029374876688397514044516657077500605138839916688140725455446652220507242623923792115253181625125363050931728631422004064571305275802307665183351995689139748137504926429605010013651980186945639498（或者至少是这等数量级的其他的可能性）。这个数无疑是极其巨大，但是我似乎没有办法使它变小许多。虽然我的图灵机编码步骤和号码指定是相当合理和简单的，但是在一台实际的普适图灵机的编码中仍然不可避免地导向这么大的一个数7。我曾说过，实际上所有现代通用电脑都是普适图灵机。我并不是说，这种电脑的逻辑设计必须在根本上和我刚刚给出的普适图灵机的描述非常相似。其要点可以简述为，首先为任一台普适图灵机提供一段适当的程序（输入磁带的开始部分）可使它摸拟任何图灵机的行为！在上面的描述中，程序简单地采取单独的数（数n）的形式。但是，其他的步骤也是可能的，图灵原先方案就有许多种变化。事实上，在我自己的描述中，已经有些偏离图灵的原型。但是对于我们当前目的，这些差别中没有一个是重要的。希尔伯特问题的不可解性我们现在回到当初图灵提出其观念的目的，即解决希尔伯特的范围广泛的判决问题：是否存在某种回答属于某一广泛的、但是定义得很好的集合的所有数学问题的机械步骤？图灵发现，他可以把这个问题重述成他的形式，即决定把第n台图灵机作用于数m时实际上是否会停止的问题。该问题被称作停机问题。很容易建造一个指令表使该机器对于任何数m不停。 （例如，正如上面的n=1或2或任何别的在所有地方都没有STOP指令的情形）。也有许多指令表，不管给予什么数它总停（例如n=11）；有些机器对某些数停，但对其他的数不停。人们可以公正地讲，如果一个想象中的算法永远不停地算下去，则并没有什么用处。那根本不够格被称作算法。所以一个重要的问题是，决定Tn应用在m时是否真正地给出答案！如果它不能（也就是该计算不停止），则就把它写成Tn（m）=□。
（在这记号中还包括了如下情形，即图灵机在某一阶段由于它找不到合适的告诉其下一步要做什么的指令而遇到麻烦，正如上面考虑的伪品机器T4和T7。还有不幸得很，我们粗看起来似乎成功的机器T3现在也必须被归于伪品：T3（m）=□，这是因为T3作用的结果总是空白带，而为使计算的结果可赋予一个数，在输出上至少有一个1！然而，由于机器T11产生了单独的1，所以它是合法的。这一输出是编号为0的磁带，所以对于一切m，我们都有T11（m）=0。）
能够决定图灵机何时停止是数学中的一个重要问题。例如，考虑方程：
（x＋1）w＋3＋（y＋1）w＋3=（z＋1）w＋3。
（如果专门的数学方程使你忧虑，不要退缩！这一方程只不过是作为一个例子，没有必要详细地理解它。）这一特殊的方程和数学中著名的或许是最著名的未解决的问题相关。该问题是：存在任何满足这方程的自然数集合w，x，y，z吗？这个著名的称作“费马最后定理”的陈述被伟大的十七世纪法国数学家皮埃尔？德？费马（1601―1665）写在丢番都的《代数》一书空白的地方。费马宣布这方程永远不能被满足①8。虽然费马以律师作为职业（并且是笛卡尔的同时代人），他却是那个时代最优秀的数学家。他宣称得到了这一断言的“真正美妙的证明”，但那里的空白太小写不下。可惜迄今为止既没有人能够重新证明之，也没有人能找到任何和费马断言相反的例子①！很清楚，在给定了四个数（w；x；y；z）后，决定该方程是否成立是计算的① 记住我说的自然数是指0，1，2，3，4，5，6，…。我写成“x＋1” 和“w＋3” 等等，而不写成费马断言的更熟知的形式（xw＋yw=xw，x，y，z＞0，w＞2）的原因是，我们允许x；w等等为从零开始的所有自然数。
① 普林斯顿大学的英籍数学家安德鲁？怀尔斯在1993年6月23日宣布证明了费马最后定理（译者）。事体。这样，我们可以想象让一台电脑的算法一个接一个地跑过所有的四数组，直到方程被满足时才停下。（我们已经看到，存在于一根单独磁带上，把数的有限集合以一种可计算方式编码成为一个单独的数的方法。这样， 我们只要跟随着这些单独的数的自然顺序就能 “跑遍” 所有的四数组。）如果我们能够建立这个算法不停的事实，则我们就有了费马断言的证明。
可以用类似的办法把许多未解决的数�
